Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x,y)=8x+3y$ sujeta a las siguientes restricciones:

$\{\begin{array}{l}-2x+4\ge y\\ x+2y\ge 2\\ y\le 3\\ x\ge 0\end{array}$

a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1,25 puntos)

b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la primera restricción en la forma habitual antes de representarla:

$-2x+4\ge y\Rightarrow 2x+y\le 4$

Las cuatro rectas frontera son $2x+y=4$, $x+2y=2$, $y=3$ y $x=0$.



Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=2\end{array}\Rightarrow A(0,1)$

$\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ x+2y=2\end{array}\Rightarrow y=4-2x,x+8-4x=2\Rightarrow x=2,y=0\Rightarrow B(2,0)$

$\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ y=3\end{array}\Rightarrow 2x=1\Rightarrow C(\mathrm{0,5};3)$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}\Rightarrow D(0,3)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(0,1)$, $B(2,0)$, $C(\mathrm{0,5};3)$ y $D(0,3)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indica}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptimos}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{respectivos}}\mathbf{\text{valores.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los cuatro:

$f(0,1)=0+3=3$

$f(2,0)=16+0=16$

$f(\mathrm{0,5};3)=4+9=13$

$f(0,3)=0+9=9$

El máximo se alcanza en el punto $B(2,0)$ y vale 16; el mínimo se alcanza en el punto $A(0,1)$ y vale 3.