Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal maximiza la función $f(x,y)=12x-2y$ sujeta a las siguientes restricciones:

$\begin{array}{l}x\ge y\\ x+y\ge 0\\ x\le 3\end{array}$

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos)

c) Indica el máximo del problema dado y su valor. (0,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Las tres restricciones son semiplanos: $x\ge y$ deja por debajo de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, $x+y\ge 0$ deja por encima de la del segundo y cuarto, y $x\le 3$ corta por la derecha.



La región factible es el triángulo coloreado, que las dos bisectrices abren desde el origen y la recta $x=3$ cierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\{\begin{array}{l}x=y\\ x+y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

$\{\begin{array}{l}x=y\\ x=3\end{array}\Rightarrow A(3,3)$

$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x=3\end{array}\Rightarrow B(3,-3)$

Los vértices son $O(0,0)$, $A(3,3)$ y $B(3,-3)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Indica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los tres:

$f(0,0)=0$

$f(3,3)=36-6=30$

$f(3,-3)=36+6=42$

El máximo se alcanza en el punto $B(3,-3)$ y vale 42.