Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un terreno se dispone de 18 hectáreas para sembrar aguacates y mangos. Para los aguacates deseamos destinar como mucho 16 hectáreas. Por cada hectárea sembrada de aguacates y mangos se obtiene 10000 y 12000 euros respectivamente. Se quiere que la superficie correspondiente a los mangos no sea mayor que la que ocupen los aguacates.

a) Expresa la función objetivo. (0,25 puntos)

b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)

c) Determina cuántas hectáreas de cada tipo se debe dedicar a cada producto para conseguir máximo beneficio. (0,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Expresa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ a las hectáreas sembradas de aguacates e $y$ a las sembradas de mangos. Cada hectárea de aguacates produce 10000 € y cada una de mangos 12000 €, así que el beneficio, que se quiere hacer máximo, es:

$B(x,y)=10000x+12000y$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escribe}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{inecuaciones}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{definido.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El terreno disponible son 18 hectáreas:

$x+y\le 18$

A los aguacates se les destinan como mucho 16 hectáreas:

$x\le 16$

La superficie de mangos no puede superar a la de aguacates:

$y\le x$

Y ninguna superficie puede ser negativa. Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 18\\ x\le 16\\ y\le x\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{hect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{dedicar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{conseguir}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\{\begin{array}{l}y=x\\ y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

$\{\begin{array}{l}x=16\\ y=0\end{array}\Rightarrow A(16,0)$

$\{\begin{array}{l}x=16\\ x+y=18\end{array}\Rightarrow B(16,2)$

$\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=18\end{array}\Rightarrow 2x=18\Rightarrow C(9,9)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal valoramos el beneficio en los cuatro:

$B(0,0)=0\text{ €}$

$B(16,0)=160000\text{ €}$

$B(16,2)=160000+24000=184000\text{ €}$

$B(9,9)=90000+108000=198000\text{ €}$

El beneficio máximo, 198000 €, se consigue dedicando 9 hectáreas a los aguacates y 9 a los mangos.