Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Javier disfruta mucho de los partidos de fútbol y de los conciertos, y su presupuesto anual para este tipo de ocio está limitado a 1.000 euros. Cada partido de fútbol cuesta 60 euros y cada concierto, 40 euros. Con la condición de asistir a al menos tantos partidos de fútbol como conciertos y acudir a un máximo de 14 partidos de fútbol al año, responda a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede Javier asistir a 8 partidos de fútbol y a 8 conciertos? En caso afirmativo, ¿gasta todo su presupuesto? (2 puntos)

b) Si Javier busca maximizar el número de salidas para divertirse, plantee y resuelva un problema de programación lineal para determinar cuántas veces puede ir a cada sitio. ¿Cuántas escapadas disfrutará en total? (8 puntos)

Se llama $x$ al número de partidos de fútbol a los que asiste Javier al año e $y$ al número de conciertos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{Javier}}\mathbf{\text{asistir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{partidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{tbol}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{conciertos?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{¿gasta}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{presupuesto?}}(2\text{ puntos})$

Basta comprobar si el punto $(8,8)$ cumple las tres condiciones del enunciado.

El presupuesto anual está limitado a 1.000 €:

$60\cdot 8+40\cdot 8=480+320=800\le 1000$

Debe asistir al menos a tantos partidos como conciertos:

$8\ge 8$

Puede acudir a un máximo de 14 partidos:

$8\le 14$

Las tres condiciones se cumplen, así que Javier sí puede asistir a 8 partidos de fútbol y a 8 conciertos. El gasto es de $800\text{ €}$, de modo que no agota su presupuesto: le sobran $1000-800=200\text{ €}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{Javier}}\mathbf{\text{busca}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{salidas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{divertirse,}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{sitio.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{escapadas}}\mathbf{\text{disfrutar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total?}}(8\text{ puntos})$

La función objetivo que se desea maximizar es el número total de salidas: $S(x,y)=x+y$.

Las restricciones del problema son:

El presupuesto anual es de 1.000 € $\Rightarrow$ $60x+40y\le 1000$, que simplificando entre $20$ queda $3x+2y\le 50$.

Al menos tantos partidos como conciertos $\Rightarrow$ $x\ge y$.

Un máximo de 14 partidos al año $\Rightarrow$ $x\le 14$.

El número de salidas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3x+2y\le 50\\ y\le x\\ x\le 14\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$: es el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=14\\ y=0\end{array}\Rightarrow A(14,0)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x=14\\ 3x+2y=50\end{array}\Rightarrow 42+2y=50\Rightarrow y=4\Rightarrow B(14,4)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=50\\ y=x\end{array}\Rightarrow 3x+2x=50\Rightarrow 5x=50\Rightarrow x=10\Rightarrow C(10,10)$

Se valora la función $S(x,y)=x+y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$O(0,0)\Rightarrow S(0,0)=0$

$A(14,0)\Rightarrow S(14,0)=14$

$B(14,4)\Rightarrow S(14,4)=18$

$C(10,10)\Rightarrow S(10,10)=20$

El número máximo de salidas se alcanza en el vértice $C(10,10)$. Se comprueba además el gasto en ese punto:

$60\cdot 10+40\cdot 10=600+400=1000$

Javier debe ir a 10 partidos de fútbol y a 10 conciertos: disfrutará de 20 escapadas en total y gastará exactamente los $1000\text{ €}$ de su presupuesto.