Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa produce dos productos, $A$ y $B$, con ganancias de 30 € y 40 € por unidad producida, respectivamente. La producción de $A$ requiere 3 horas de mano de obra y 2 unidades de material, mientras que la producción de $B$ requiere 2 horas de mano de obra y 3 unidades de material. Los recursos disponibles son 150 horas de mano de obra y 150 unidades de material. Además, debido a requisitos de distribución, se establece que la producción total debe ser mayor o igual a 20 unidades entre ambos productos.

a) Plantee y resuelva un problema que permita determinar el número de unidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la ganancia total y a cuánto ascendería dicha ganancia. (8 puntos)

b) Considerando la región factible del apartado a) y una nueva función objetivo dada por $\max f(x,y)=30x+by$, donde $b$ es un valor desconocido, razone que $(40,40)$ no puede ser solución óptima del nuevo problema. Análogo con $(20,20)$. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{producirse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ganancia}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{ganancia.}}(8\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de unidades producidas del producto $A$ e $y$ al número de unidades producidas del producto $B$.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas de mano de obra}$	$\text{Unidades de material}$	$\text{Ganancia}$
Unidades de A (x)	3x	2x	30x
Unidades de B (y)	2y	3y	40y
Totales	3x+2y	2x+3y	30x+40y

La función objetivo que se desea maximizar es la ganancia total: $G(x,y)=30x+40y$.

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 150 horas de mano de obra $\Rightarrow$ $3x+2y\le 150$.

Se dispone de 150 unidades de material $\Rightarrow$ $2x+3y\le 150$.

La producción total debe ser al menos de 20 unidades $\Rightarrow$ $x+y\ge 20$.

Las cantidades producidas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3x+2y\le 150\\ 2x+3y\le 150\\ x+y\ge 20\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ x=0\end{array}\Rightarrow A(0,20)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=150\\ x=0\end{array}\Rightarrow 3y=150\Rightarrow y=50\Rightarrow B(0,50)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=150\\ 2x+3y=150\end{array}$

Se multiplica la primera ecuación por $3$ y la segunda por $-2$:

$\{\begin{array}{l}9x+6y=450\\ -4x-6y=-300\end{array}\Rightarrow 5x=150\Rightarrow x=30$

$3\cdot 30+2y=150\Rightarrow 2y=60\Rightarrow y=30\Rightarrow C(30,30)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=150\\ y=0\end{array}\Rightarrow 3x=150\Rightarrow x=50\Rightarrow D(50,0)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ y=0\end{array}\Rightarrow E(20,0)$

Se valora la función ganancia $G(x,y)=30x+40y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(0,20)\Rightarrow G(0,20)=40\cdot 20=800$

$B(0,50)\Rightarrow G(0,50)=40\cdot 50=2000$

$C(30,30)\Rightarrow G(30,30)=30\cdot 30+40\cdot 30=900+1200=2100$

$D(50,0)\Rightarrow G(50,0)=30\cdot 50=1500$

$E(20,0)\Rightarrow G(20,0)=30\cdot 20=600$

La ganancia máxima se produce en el vértice $C(30,30)$.

Deben producirse 30 unidades del producto $A$ y 30 unidades del producto $B$, con lo que la ganancia total asciende a $2100\text{ €}$.



Se razona por separado sobre cada punto, porque el motivo es distinto en cada caso.

El punto $(40,40)$ no cumple la primera restricción:

$3\cdot 40+2\cdot 40=120+80=200>150$

Al no pertenecer a la región factible, no es una solución admisible del problema y, por tanto, no puede ser solución óptima sea cual sea el valor de $b$.

El punto $(20,20)$ sí pertenece a la región factible, pero cumple todas las restricciones de forma estricta:

$\{\begin{array}{l}3\cdot 20+2\cdot 20=100<150\\ 2\cdot 20+3\cdot 20=100<150\\ 20+20=40>20\\ 20>0;20>0\end{array}$

Es, por tanto, un punto interior de la región factible. Como el coeficiente de $x$ en la función objetivo es $30\mathrm{\ne }0$, la función $f$ no es constante y desde $(20,20)$ siempre se puede avanzar un poco en la dirección de crecimiento sin salirse de la región, obteniendo un valor mayor de $f$. El máximo de una función lineal se alcanza siempre en la frontera —en un vértice o en un lado— de la región factible, nunca en un punto interior.

Ni $(40,40)$, por no ser factible, ni $(20,20)$, por ser interior, pueden ser solución óptima del nuevo problema para ningún valor de $b$.