Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

La función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+c$ tiene un punto de inflexión en $(2,-5)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es $-12$. Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=12a+2b=0\Rightarrow b=-6a$

La pendiente de la recta tangente en ese punto es el valor de la primera derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=12a+4b=-12$

Sustituimos $b=-6a$:

$12a-24a=-12\Rightarrow -12a=-12\Rightarrow a=1\Rightarrow b=-6$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(2)=8a+4b+c=-5\Rightarrow 8-24+c=-5\Rightarrow c=11$

Los parámetros son $a=1$, $b=-6$ y $c=11$, de modo que la función es $f(x)=x^3-6x^2+11$.