Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

La altura, medida en metros, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene expresada en función del tiempo por $H(x)=20x-2x^2$ con $x=$ tiempo en segundos y $0\le x\le 10$.

a) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 3 segundos? (0,5 puntos)

b) ¿En qué momentos la pelota se encuentra a 32 metros de altura? (0,5 puntos)

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{alcanzado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pelota}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{segundos?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Basta sustituir el tiempo en la función de la altura.

$H(3)=20\cdot 3-2\cdot 3^2=60-18=42$

A los 3 segundos la pelota se encuentra a 42 metros de altura.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momentos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pelota}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{32}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Igualamos la altura a 32 y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta.

$20x-2x^2=32\Rightarrow 2x^2-20x+32=0\Rightarrow x^2-10x+16=0$

$x={\displaystyle \frac{10\pm \sqrt{100-64}}{2}}={\displaystyle \frac{10\pm 6}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=8\end{array}$

Las dos soluciones pertenecen al intervalo $[0,10]$ y las dos tienen sentido: la primera corresponde a la subida y la segunda a la bajada.



La pelota está a 32 metros de altura a los 2 segundos, cuando sube, y a los 8 segundos, cuando baja.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pelota?}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Derivamos la altura e igualamos a cero para localizar el punto crítico.

$H^{\mathrm{\prime }}(x)=20-4x$

$H^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 20-4x=0\Rightarrow x=5$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$H^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4<0$

Al ser negativa, en $x=5$ hay un máximo, y su valor es:

$H(5)=20\cdot 5-2\cdot 5^2=100-50=50$

La pelota alcanza su altura máxima, 50 metros, a los 5 segundos del lanzamiento.