Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-4& \text{si }x\le c\\ -(x-3{)}^2+2& \text{si }x>c\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $c$ la función $f(x)$ es continua en $x=c$? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $c=1$. (0,75 puntos)

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en el punto de empalme.

$2c-4=-(c-3{)}^2+2$

Desarrollamos el cuadrado y agrupamos:

$2c-4=-c^2+6c-9+2\Rightarrow c^2-4c+3=0$

$c={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=1\\ c=3\end{array}$

La función es continua en el punto de empalme para $c=1$ y para $c=3$.



Con $c=1$ la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-4& \text{si }x\le 1\\ -(x-3{)}^2+2& \text{si }x>1\end{array}$

El primer trozo es una recta de pendiente 2 que corta al eje de ordenadas en $-4$ y termina en

$f(1)=2-4=-2$

El segundo es una parábola abierta hacia abajo con vértice en $(3,2)$, que arranca justo en ese mismo valor:

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-(1-3{)}^2+2=-2$

Por eso con $c=1$, que es uno de los valores del apartado anterior, la gráfica se dibuja de un solo trazo. Otros puntos que ayudan a situarla:

$f(5)=-(5-3{)}^2+2=-2,f(6)=-(6-3{)}^2+2=-7$



La función crece a lo largo de la recta hasta el punto $(1,-2)$, sigue subiendo por la parábola hasta el máximo $(3,2)$ y a partir de ahí decrece.