Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+t+1{)}^2& \text{si }x<-1\\ 1& \text{si }x=-1\\ -x^2+(t+2)x+5& \text{si }x>-1\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x=-1$? (0,5 puntos)

b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1,\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1,\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

Aquí la función está definida aparte en el propio punto, así que los dos límites laterales tienen que coincidir además con ese valor, que es 1.

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=(-1+t+1{)}^2=t^2$

${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=-1-(t+2)+5=2-t$

Igualamos cada uno de ellos a $f(-1)=1$:

$t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$

$2-t=1\Rightarrow t=1$

El único valor que cumple las dos condiciones a la vez es $t=1$.



En ese intervalo la función es el tercer trozo, que con $t=0$ queda:

$f(x)=-x^2+2x+5$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+2=0\Rightarrow x=1$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0$

Al ser negativa, en $x=1$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$f(1)=-1+2+5=6$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(1,6)$ y ningún mínimo en ese intervalo.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+2$, que es una recta decreciente que se anula en $x=1$.

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2>0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=-2<0$



La función crece en $(-1,1)$ y decrece en $(1,+\mathrm{\infty })$.