Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

El número de socios de una protectora de animales durante los cinco primeros años de su existencia viene dado por la siguiente función $P(x)=x^3-6x^2+9x+4$ con $x=$ años y $1\le x\le 5$.

a) ¿En qué intervalos aumenta el número de socios? ¿Y en cuáles disminuye? (0,5 puntos)

b) ¿Cuándo hay mayor número de socios y cuántos son? (0,75 puntos)

c) ¿En qué año son menos socios y cuántos hay? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{socios?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{disminuye?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

El valor $x=1$ es el extremo izquierdo del intervalo de estudio, así que dentro de $[1,5]$ el único punto que separa tramos es $x=3$. Estudiamos el signo de la derivada a cada lado:

$P^{\mathrm{\prime }}(2)=12-24+9=-3<0,P^{\mathrm{\prime }}(4)=48-48+9=9>0$



El número de socios disminuye durante los dos primeros años, $(1,3)$, y aumenta a partir del tercero, $(3,5)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{socios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{son?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como la función decrece y luego crece, el máximo absoluto del intervalo cerrado está en uno de los extremos. Valoramos los tres puntos que importan:

$P(1)=1-6+9+4=8$

$P(3)=27-54+27+4=4$

$P(5)=125-150+45+4=24$

El mayor número de socios se alcanza en el quinto año, con 24 socios.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{socios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{hay?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De los tres valores anteriores el más pequeño es el del punto crítico, que es donde la función pasa de decrecer a crecer. Lo confirmamos con la segunda derivada:

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=6>0$

Al ser positiva, en $x=3$ hay un mínimo, y además es el mínimo absoluto del intervalo.

El menor número de socios se da en el tercer año, con 4 socios.