Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ tiene un punto de inflexión en $(-1,6)$ y en el punto de abscisa $x=-2$ la pendiente de la recta tangente es $-4$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+c,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6a+2b=0\Rightarrow b=3a$

La pendiente de la recta tangente en $x=-2$ es el valor de la primera derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=12a-4b+c=-4$

Sustituimos $b=3a$ y los términos en $a$ se cancelan:

$12a-12a+c=-4\Rightarrow c=-4$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(-1)=-a+b-c=6\Rightarrow -a+3a+4=6\Rightarrow 2a=2\Rightarrow a=1$

$b=3\cdot 1=3$

Los parámetros son $a=1$, $b=3$ y $c=-4$, de modo que la función es $f(x)=x^3+3x^2-4x$.