Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La función $f(x)=a{x}^2+bx+c$ tiene un máximo en el punto $(0,-3)$ y la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa $x=-1$ es 6. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

Calculamos la derivada, que recoge dos de las tres condiciones.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b$

Que la función pase por el punto $(0,-3)$ da el término independiente:

$f(0)=c=-3$

Que ese punto sea un máximo obliga a que la derivada se anule allí:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=b=0$

Y la pendiente de la recta tangente en $x=-1$ es el valor de la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-2a+b=6\Rightarrow -2a=6\Rightarrow a=-3$

Los parámetros son $a=-3$, $b=0$ y $c=-3$, de modo que la función es $f(x)=-3x^2-3$. Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola está abierta hacia abajo y el punto $(0,-3)$ es efectivamente un máximo.