Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

La función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+16x+c$ tiene un punto de inflexión en $(1,10)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+16,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6a+2b=0\Rightarrow b=-3a$

La pendiente de la recta tangente en ese punto es el valor de la primera derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3a+2b+16=7\Rightarrow 3a+2b=-9$

Sustituimos $b=-3a$:

$3a-6a=-9\Rightarrow -3a=-9\Rightarrow a=3\Rightarrow b=-9$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(1)=a+b+16+c=10\Rightarrow 3-9+16+c=10\Rightarrow c=0$

Los parámetros son $a=3$, $b=-9$ y $c=0$, de modo que la función es $f(x)=3x^3-9x^2+16x$.