Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+t& \text{si }x\le -1\\ x^3-2x^2+4& \text{si }x>-1\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=-1$? (0,75 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1,+\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1,+\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en $x=-1$.

$f(-1)=-1+t$

${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=(-1{)}^3-2(-1{)}^2+4=-1-2+4=1$

$-1+t=1\Rightarrow t=2$

La función es continua en $x=-1$ para $t=2$.



En ese intervalo la función es el segundo trozo, que no depende del parámetro:

$f(x)=x^3-2x^2+4$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$

Los dos pertenecen al intervalo. Comprobamos el signo de la segunda derivada en cada uno:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-4$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-4<0,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)=4>0$

Luego en $x=0$ hay un máximo relativo y en $x=\frac{4}{3}$ un mínimo relativo. Sus valores son:

$f(0)=4,f\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)={\displaystyle \frac{64}{27}}-{\displaystyle \frac{32}{9}}+4={\displaystyle \frac{76}{27}}\approx \mathrm{2,8148}$

La función presenta un máximo relativo en $(0,4)$ y un mínimo relativo en $(\frac{4}{3},\frac{76}{27})$.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(3x-4)$ tomando un punto de cada tramo:

$f^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{3}{4}}+2>0,f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-4=-1<0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=12-8=4>0$



La función crece en $(-1,0)$ y en $(\frac{4}{3},+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(0,\frac{4}{3})$.