Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

En un taller para automóviles el número de clientes a los que cambiaron las ruedas de su coche durante 5 días de esta semana se ajusta a la función $f(x)=2x^3-15x^2+24x+75$, $1\le x\le 5$, siendo $x=1$ el lunes y $x=5$ el viernes.

a) ¿Qué día acuden menos clientes a cambiar las ruedas de su coche? ¿Cuántos clientes son? (0,75 puntos)

b) ¿Cuál es el día que van más clientes a que les cambien las ruedas y cuántos son esos clientes? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{acuden}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cambiar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ruedas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{coche?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{son?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-30x+24$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}$

El valor $x=1$ es el extremo izquierdo del intervalo, así que dentro de $[1,5]$ el único punto que separa tramos es $x=4$. Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x-30\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(4)=18>0$

Al ser positiva, en $x=4$ hay un mínimo relativo, que por ser el único punto crítico del interior del intervalo es también el absoluto.



$f(4)=128-240+96+75=59$

El día que menos clientes acuden es el jueves, con 59 clientes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{van}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{cambien}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ruedas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{clientes?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como el número de clientes decrece hasta el jueves y crece después, el máximo absoluto está en uno de los dos extremos del intervalo. Los comparamos:

$f(1)=2-15+24+75=86$

$f(5)=250-375+120+75=70$

El día que más clientes van es el lunes, con 86 clientes.