Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La obsolescencia tecnológica implica una disminución del valor de un producto con el tiempo. En cierto dispositivo, el valor $V(t)>0$ viene dado por $V(t)=200-{\displaystyle \frac{100t}{10+2t}}$ €, siendo $t$ los años transcurridos desde la compra del dispositivo.

a) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo. (3 puntos)

b) Calcule $V^{\mathrm{\prime }}(t)$ y justifique que $V(t)$ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a) para argumentar que no será posible que el valor de $V(t)$ sea igual a 125 €. (4 puntos)

c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de 175 €? (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{horizonte}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo.}}(3\text{ puntos})$

El valor inicial es el que tiene el dispositivo en el momento de la compra, es decir, para $t=0$.

$V(0)=200-{\displaystyle \frac{100\cdot 0}{10+2\cdot 0}}=200-{\displaystyle \frac{0}{10}}=200$

El valor en un horizonte infinito de tiempo se obtiene calculando el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito. Es un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}V(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}(200-{\displaystyle \frac{100t}{10+2t}})=200-{\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{100t}{2t+10}}=200-{\displaystyle \frac{100}{2}}$

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}V(t)=200-50=150$

El valor inicial del producto es de $200\text{ €}$ y, con el paso del tiempo, su valor tiende a estabilizarse en $150\text{ €}$.



Se deriva la función aplicando la regla de derivación de un cociente al segundo sumando.

$V^{\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{100\cdot (10+2t)-100t\cdot 2}{(10+2t{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1000+200t-200t}{(10+2t{)}^2}}$

$V^{\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{1000}{(10+2t{)}^2}}$

El numerador es la constante negativa $-1000$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo para $t\ge 0$. Por tanto:

$V^{\mathrm{\prime }}(t)<0\text{para todo }t\ge 0$



La función $V(t)$ es decreciente en todo su dominio: el valor del dispositivo no deja de bajar.

Ahora se juntan las dos conclusiones. Por el apartado a), $V(0)=200$ y ${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}V(t)=150$. Al ser $V$ decreciente, sus valores parten de $200$ y se acercan a $150$ sin llegar nunca a alcanzarlo, de modo que:

$150<V(t)\le 200\text{para todo }t\ge 0$

Como $125<150$, el valor $125\text{ €}$ queda por debajo de la asíntota horizontal y no se alcanza nunca.

No es posible que el dispositivo llegue a valer $125\text{ €}$: por muchos años que pasen, su valor nunca baja de $150\text{ €}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dispositivo}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{175}}\mathbf{\text{€?}}(3\text{ puntos})$

Se plantea la ecuación $V(t)=175$ y se despeja $t$.

$200-{\displaystyle \frac{100t}{10+2t}}=175\Rightarrow {\displaystyle \frac{100t}{10+2t}}=25$

$100t=25(10+2t)\Rightarrow 100t=250+50t\Rightarrow 50t=250$

$t=5$

Se comprueba el resultado: $V(5)=200-{\displaystyle \frac{500}{20}}=200-25=175$.

Tienen que pasar $5$ años desde la compra para que el dispositivo tenga un valor de $175\text{ €}$.