Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

La primera derivada de una cierta función es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(x-1{)}^2$.

a) ¿En qué intervalo $f(x)$ es creciente? ¿Y decreciente? Calcule los extremos relativos. (3 puntos)

b) ¿En qué intervalo es cóncava la gráfica de $f(x)$? ¿Y convexa? Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$. (4 puntos)

c) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0)=10$. (3 puntos)

El enunciado da directamente la derivada primera, así que basta estudiar su signo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(x-1{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

El factor $(x-1{)}^2$ es un cuadrado, de modo que nunca es negativo: el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ coincide con el signo de $x$ salvo en $x=1$, donde la derivada se anula.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=-1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-1\cdot 4=-4<0\\ \text{Si }x=\mathrm{0,5},f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}>0\\ \text{Si }x=2,f^{\mathrm{\prime }}(2)=2\cdot 1=2>0\end{array}$



La función es decreciente en $(-\mathrm{\infty },0)$ y creciente en $(0,+\mathrm{\infty })$.

En $x=0$ la derivada cambia de negativa a positiva, así que hay un mínimo relativo. En $x=1$ la derivada se anula pero no cambia de signo —es positiva a ambos lados—, de modo que ahí no hay extremo relativo, sino un punto de tangente horizontal.

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$, crece en $(0,+\mathrm{\infty })$ y presenta un único extremo relativo: un mínimo en $x=0$.



Para estudiar la curvatura se deriva de nuevo. Conviene desarrollar antes la derivada primera.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(x-1{)}^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x+1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-4x+1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{6}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{6}}$

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x=1\end{array}$

Se estudia el signo de la segunda derivada en los tres tramos que determinan estos valores.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=0,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=1>0\\ \text{Si }x=\mathrm{0,5},f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,75}-2+1=-\mathrm{0,25}<0\\ \text{Si }x=2,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=12-8+1=5>0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})& (\frac{1}{3},1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\\ f(x)& \cup & \cap & \cup \end{array}$

La gráfica es convexa $(\cup )$ en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{1}{3}})\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y cóncava $(\cap )$ en $({\displaystyle \frac{1}{3}},1)$. Como la segunda derivada cambia de signo en ambos valores, hay puntos de inflexión en $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ y en $x=1$.



La función se recupera integrando su derivada, ya desarrollada en el apartado anterior.

$f(x)=\int (x^3-2x^2+x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C$

Se determina la constante de integración con la condición del enunciado.

$f(0)={\displaystyle \frac{0}{4}}-{\displaystyle \frac{0}{3}}+{\displaystyle \frac{0}{2}}+C=C$

$C=10$

La función buscada es $f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+10$.