Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Un grupo de jóvenes emprendedores valoran abrir una empresa y, para ello, han encargado un estudio de mercado en el que estimaron que los beneficios para los próximos años, en cientos de miles de euros, vendrán dados por la función

$B(t)={\displaystyle \frac{2t-6}{t+4}}$

donde $t$ representa los años transcurridos desde la apertura. Los emprendedores quieren saber:

a) ¿En qué intervalo la empresa tendrá pérdidas? (2 puntos)

b) En qué momento $t\in [3,10]$ se alcanza el máximo beneficio y a cuántos euros asciende su valor. Justifica la respuesta. (4 puntos)

c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener un beneficio de 150.000 €? (2 puntos)

d) En un horizonte infinito de tiempo, ¿existe límite para el beneficio? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite? (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas?}}(2\text{ puntos})$

La empresa tiene pérdidas cuando el beneficio es negativo, así que se resuelve la inecuación $B(t)<0$.

${\displaystyle \frac{2t-6}{t+4}}<0$

Como $t$ cuenta años transcurridos desde la apertura, es $t\ge 0$ y el denominador $t+4$ es siempre positivo. El signo del cociente coincide entonces con el del numerador.

$2t-6<0\Rightarrow 2t<6\Rightarrow t<3$

La empresa tendrá pérdidas durante los tres primeros años, es decir, en el intervalo $[0,3)$. A partir del tercer año el beneficio pasa a ser positivo.



Se deriva la función aplicando la regla de derivación de un cociente.

$B^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2(t+4)-(2t-6)\cdot 1}{(t+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{2t+8-2t+6}{(t+4{)}^2}}$

$B^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{14}{(t+4{)}^2}}$

El numerador es la constante positiva $14$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo, de modo que

$B^{\mathrm{\prime }}(t)>0\text{para todo }t\ge 0$



La derivada no se anula nunca, así que la función no tiene extremos relativos y es estrictamente creciente. Por ser continua y creciente en el intervalo cerrado $[3,10]$, alcanza su máximo en el extremo derecho.

$B(10)={\displaystyle \frac{2\cdot 10-6}{10+4}}={\displaystyle \frac{14}{14}}=1$

Como el beneficio viene dado en cientos de miles de euros:

$1\cdot 100000=100000$

El máximo beneficio se alcanza a los $10$ años de la apertura y asciende a $100000\text{ €}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{150.000}}\mathbf{\text{€?}}(2\text{ puntos})$

Como la función mide el beneficio en cientos de miles de euros, 150.000 € corresponden a $B(t)=\mathrm{1,5}$.

${\displaystyle \frac{2t-6}{t+4}}=\mathrm{1,5}\Rightarrow 2t-6=\mathrm{1,5}(t+4)\Rightarrow 2t-6=\mathrm{1,5}t+6$

$\mathrm{0,5}t=12\Rightarrow t=24$

Se comprueba el resultado: $B(24)={\displaystyle \frac{48-6}{28}}={\displaystyle \frac{42}{28}}=\mathrm{1,5}$.

Tienen que pasar $24$ años desde la apertura para obtener un beneficio de 150.000 €.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{horizonte}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo,}}\mathbf{\text{¿existe}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite?}}(2\text{ puntos})$

Se calcula el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito. Es un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2t-6}{t+4}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$

Sí existe límite: por muchos años que pasen, el beneficio no supera los $2$ cientos de miles de euros, es decir, $200000\text{ €}$, valor al que se aproxima sin llegar a alcanzarlo. La recta $y=2$ es asíntota horizontal de la función.