Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

El cálculo del índice de progreso real (IPR) de un país viene determinado por la función $IPR(t)=-t^3+54t^2+480t+6.000$ siendo $t\in [0,62]$ el número de años transcurridos desde 1.932. Se pide:

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento del IPR del país. (4 puntos)

b) ¿En qué año el IPR alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor? Asimismo, ¿en qué año el IPR registra su valor mínimo y cuál es dicho valor? (3 puntos)

c) Analice la concavidad y convexidad de la función $IPR(t)$, e identifique, si existe, algún punto de inflexión. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{IPR}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s.}}(4\text{ puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$IPR(t)=-t^3+54t^2+480t+6000\Rightarrow IP{R}^{\mathrm{\prime }}(t)=-3t^2+108t+480$

$IP{R}^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow -3t^2+108t+480=0\Rightarrow t^2-36t-160=0$

$t={\displaystyle \frac{36\pm \sqrt{(-36{)}^2-4\cdot (-160)}}{2}}={\displaystyle \frac{36\pm \sqrt{1296+640}}{2}}={\displaystyle \frac{36\pm \sqrt{1936}}{2}}={\displaystyle \frac{36\pm 44}{2}}$

$\{\begin{array}{l}t={\displaystyle \frac{36-44}{2}}=-4\\ t={\displaystyle \frac{36+44}{2}}=40\end{array}$

Se descarta la solución $t=-4$ por no pertenecer al dominio $[0,62]$, ya que $t$ cuenta años transcurridos desde 1932.

Se hace un estudio de signos de la derivada a ambos lados de $t=40$.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }t=0,IP{R}^{\mathrm{\prime }}(0)=480>0\\ \text{Si }t=50,IP{R}^{\mathrm{\prime }}(50)=-7500+5400+480=-1620<0\end{array}$



El IPR del país crece en el intervalo $[0,40)$ y decrece en el intervalo $(40,62]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{IPR}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{valor?}}\mathbf{\text{Asimismo}}\mathbf{\text{¿en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{IPR}}\mathbf{\text{registra}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{valor?}}(3\text{ puntos})$

Por el apartado anterior, la función pasa de crecer a decrecer en $t=40$, así que ahí hay un máximo relativo que, al ser el único punto crítico del intervalo, es también el máximo absoluto.

$IPR(40)=-{40}^3+54\cdot {40}^2+480\cdot 40+6000$

$IPR(40)=-64000+86400+19200+6000=47600$

Como $t$ cuenta los años transcurridos desde 1932, el máximo se alcanza en el año $1932+40=1972$.

El mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado que no tiene mínimos relativos se encuentra en uno de los extremos del intervalo. Se valora la función en ambos:

$IPR(0)=6000$

$IPR(62)=-{62}^3+54\cdot {62}^2+480\cdot 62+6000$

$IPR(62)=-238328+207576+29760+6000=5008$

Como $5008<6000$, el mínimo se alcanza en $t=62$, es decir, en el año $1932+62=1994$.

El IPR alcanza su valor máximo, $47600$, en el año 1972, y su valor mínimo, $5008$, en el año 1994.



Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$IP{R}^{\mathrm{\prime }}(t)=-3t^2+108t+480\Rightarrow IP{R}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-6t+108$

$IP{R}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow -6t+108=0\Rightarrow t=18$

Se estudia el signo de la segunda derivada a ambos lados de $t=18$, dentro del intervalo $[0,62]$.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }t=0,IP{R}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=108>0\\ \text{Si }t=20,IP{R}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(20)=-120+108=-12<0\end{array}$

$\begin{array}{ccc}& [0,18)& (18,62]\\ IP{R}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)& +& -\\ IPR(t)& \cup & \cap \end{array}$

La función es convexa $(\cup )$ en $[0,18)$ y cóncava $(\cap )$ en $(18,62]$. Como la segunda derivada cambia de signo en $t=18$, ahí hay un punto de inflexión.

$IPR(18)=-5832+54\cdot 324+480\cdot 18+6000=-5832+17496+8640+6000=26304$

Existe un punto de inflexión en $(18;26304)$, es decir, en el año 1950, donde el IPR pasa de crecer cada vez más deprisa a crecer cada vez más despacio.