Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x)=x^3-9x^2+40x+50$, $0\le x\le 8$.

a) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ cuando $x\in [0,8]$ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos. (4 puntos)

b) ¿Tiene $f(x)$ algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de $f(x)$. (3 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_1^{3}f(x)dx}$. (3 puntos)

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f(x)=x^3-9x^2+40x+50\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-18x+40$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-18x+40=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{18\pm \sqrt{(-18{)}^2-4\cdot 3\cdot 40}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{18\pm \sqrt{324-480}}{6}}$

$\mathrm{\Delta }=324-480=-156<0$

El discriminante es negativo, así que la derivada no tiene raíces reales y no se anula nunca. Como es una parábola con las ramas hacia arriba que no corta al eje de abscisas, conserva el signo en todo $\mathbb{R}$; basta un punto para conocerlo:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=40>0$

Por tanto $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ para todo $x\in [0,8]$ y la función es estrictamente creciente en todo el intervalo.



Al no haber puntos críticos, la función no tiene extremos relativos. Por ser continua y creciente en el intervalo cerrado $[0,8]$, alcanza sus valores extremos en los bordes del intervalo.

$f(0)=0^3-9\cdot 0^2+40\cdot 0+50=50$

$f(8)=8^3-9\cdot 8^2+40\cdot 8+50=512-576+320+50=306$

El valor mínimo es $50$ y se alcanza en $x=0$; el valor máximo es $306$ y se alcanza en $x=8$. Ambos son extremos absolutos en $[0,8]$, pero ninguno de los dos es extremo relativo, porque se alcanzan en los extremos del intervalo y no en puntos donde la derivada se anule.



Para estudiar la curvatura se calcula la segunda derivada y se iguala a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-18x+40\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-18$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 6x-18=0\Rightarrow x=3$

Se estudia el signo de la segunda derivada a ambos lados de $x=3$, dentro del intervalo $[0,8]$.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6-18=-12<0\\ \text{Si }x=5,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5)=30-18=12>0\end{array}$

$\begin{array}{ccc}& [0,3)& (3,8]\\ f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)& -& +\\ f(x)& \cap & \cup \end{array}$

La función es cóncava $(\cap )$ en $[0,3)$ y convexa $(\cup )$ en $(3,8]$. Como la segunda derivada cambia de signo en $x=3$, ahí hay un punto de inflexión.

$f(3)=27-81+120+50=116$

La función tiene un punto de inflexión en $(3,116)$, donde pasa de cóncava a convexa.



Se calcula primero una primitiva integrando término a término.

$\int (x^3-9x^2+40x+50)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-9\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+40\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+50x={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-3x^3+20x^2+50x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_1^{3}f(x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-3x^3+20x^2+50x]}_1^3$

$=({\displaystyle \frac{81}{4}}-81+180+150)-({\displaystyle \frac{1}{4}}-3+20+50)$

$=({\displaystyle \frac{81}{4}}+249)-({\displaystyle \frac{1}{4}}+67)={\displaystyle \frac{80}{4}}+182=20+182=202$

El valor de la integral definida es ${\displaystyle {\int }_1^{3}f(x)dx=202}$.