Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de 10 de la mañana a 4 de la tarde) durante una ola de calor viene dado por la función $C(t)=2t^3-27t^2+120t$, con $1\le t\le 6$ siendo $t=1$ la primera hora desde la apertura y $t=6$ la última hora hasta el cierre y $C(t)$ en cientos de botellas.

a) ¿En qué intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye? (0,5 puntos)

b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima? (0,75 puntos)

c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ventas}}\mathbf{\text{aumentan?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{disminuye?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=6t^2-54t+120$

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t^2-9t+20=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{9\pm 1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=4\\ t=5\end{array}$

Los dos pertenecen al intervalo $[1,6]$. Estudiamos el signo de la derivada tomando un punto de cada tramo:

$C^{\mathrm{\prime }}(2)=24-108+120=36>0$

$C^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{4,5})=\mathrm{121,5}-243+120=-\mathrm{1,5}<0$

$C^{\mathrm{\prime }}(6)=216-324+120=12>0$



Las ventas aumentan de la primera a la cuarta hora, $(1,4)$, y de la quinta a la sexta, $(5,6)$, y disminuyen entre la cuarta y la quinta, $(4,5)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{venta?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el estudio anterior, en $t=4$ hay un máximo relativo y en $t=5$ un mínimo relativo, pero al ser el intervalo cerrado hay que comparar también los extremos. Valoramos los cuatro puntos:

$C(1)=2-27+120=95$

$C(4)=128-432+480=176$

$C(5)=250-675+600=175$

$C(6)=432-972+720=180$

La venta máxima se produce en la sexta hora, la última antes del cierre, y la mínima en la primera, nada más abrir.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{venden}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{casos?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función está expresada en cientos de botellas, así que hay que multiplicar por 100:

$C(6)=180\Rightarrow 18000\text{ botellas}$

$C(1)=95\Rightarrow 9500\text{ botellas}$

En la hora de más venta se despachan 18000 botellas y en la de menos, 9500.