Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x+4& \text{si }x\le c\\ x^2-4x& \text{si }x>c\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $c$ la función $f(x)$ es continua en $x=c$? (0,5 puntos)

b) Para $c=2$, representa gráficamente la función $f$. (1 punto)

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en el punto de empalme.

$-4c+4=c^2-4c$

Los términos en $-4c$ se cancelan:

$4=c^2\Rightarrow c=\pm 2$

La función es continua en el punto de empalme para $c=2$ y para $c=-2$.



Con $c=2$ la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x+4& \text{si }x\le 2\\ x^2-4x& \text{si }x>2\end{array}$

El primer trozo es una recta de pendiente $-4$ que corta a los ejes en $(0,4)$ y $(1,0)$, y termina en

$f(2)=-8+4=-4$

El segundo es una parábola abierta hacia arriba cuyo vértice está justo en el punto de empalme:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2,f(2)=4-8=-4$

Por eso con $c=2$ la gráfica se dibuja de un solo trazo. La parábola corta al eje de abscisas en $x=4$ y sigue subiendo:

$f(4)=0,f(6)=36-24=12$



La función decrece por la recta hasta el punto $(2,-4)$, que es el mínimo, y a partir de ahí crece por la parábola.