Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Una función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ tiene un máximo en $x=-1$ y un punto de inflexión en el punto $(1,-9)$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x+2a$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula, y eso da directamente el primer parámetro:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6+2a=0\Rightarrow a=-3$

Que haya un máximo en $x=-1$ obliga a que la derivada se anule allí:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3-2a+b=0\Rightarrow 3+6+b=0\Rightarrow b=-9$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(1)=1+a+b+c=-9\Rightarrow 1-3-9+c=-9\Rightarrow c=2$

Los parámetros son $a=-3$, $b=-9$ y $c=2$, de modo que la función es $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$. Como $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-12<0$, en $x=-1$ hay efectivamente un máximo.