Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-t& \text{si }x\le 0\\ (x-t{)}^2-5(x+t)+4& \text{si }x>0\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0,75 puntos)

b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0,+\mathrm{\infty })$. (0,75 puntos)

c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0,+\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en $x=0$.

$f(0)=0-t=-t$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=(0-t{)}^2-5(0+t)+4=t^2-5t+4$

Igualamos ambas expresiones:

$-t=t^2-5t+4\Rightarrow t^2-4t+4=0$

El primer miembro es un cuadrado perfecto:

$(t-2{)}^2=0\Rightarrow t=2$

La función es continua en $x=0$ únicamente para $t=2$, que es una raíz doble.



En ese intervalo la función es el segundo trozo, que con $t=0$ queda:

$f(x)=x^2-5x+4$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-5$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}}$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2>0$

Al ser positiva, en $x=\frac{5}{2}$ hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\displaystyle \frac{25}{2}}+4=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

La función presenta un mínimo relativo en el punto $(\frac{5}{2},-\frac{9}{4})$ y ningún máximo en ese intervalo.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-5$, que es una recta creciente que se anula en $x=\frac{5}{2}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3<0,f^{\mathrm{\prime }}(3)=1>0$



La función decrece en $(0,\frac{5}{2})$ y crece en $(\frac{5}{2},+\mathrm{\infty })$.