Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

En un local se venden pizzas en porciones. Las ventas durante cuatro semanas consecutivas siguen la función $P(t)=-40t^2+240t+540$, con $t=$ semanas y $(1\le t\le 4)$.

a) ¿Cuántas porciones han vendido durante los dos primeras semanas? (0,5 puntos)

b) ¿Durante qué semana se vendieron más porciones y cuántas fueron? (0,75 puntos)

c) ¿Qué semana vendieron menos? ¿Cuántas porciones? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{porciones}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{primeras}}\mathbf{\text{semanas?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función da las porciones vendidas en cada semana, así que hay que sumar las de las dos primeras.

$P(1)=-40+240+540=740$

$P(2)=-160+480+540=860$

$P(1)+P(2)=740+860=1600$

Durante las dos primeras semanas se vendieron 1600 porciones.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Durante}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendieron}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{porciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{fueron?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar el punto crítico.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=-80t+240$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow -80t+240=0\Rightarrow t=3$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-80<0$

Al ser negativa, en $t=3$ hay un máximo, que por ser el único punto crítico del intervalo es el absoluto.



$P(3)=-360+720+540=900$

La semana en que más porciones se vendieron fue la tercera, con 900 porciones.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{vendieron}}\mathbf{\text{menos?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{porciones?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como las ventas crecen hasta la tercera semana y decrecen después, el mínimo absoluto está en uno de los extremos del intervalo. Los comparamos:

$P(1)=740,P(4)=-640+960+540=860$

La semana en que menos porciones se vendieron fue la primera, con 740 porciones.