Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+4{)}^2-4& \text{si }x\le -2\\ t& \text{si }-2<x<2\\ (x-4{)}^2-4& \text{si }x\ge 2\end{array}$

a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=-2$. (0,5 puntos)

b) Para $t=3$, representa gráficamente la función $f$. (1 punto)

Imponemos que los dos valores laterales coincidan en $x=-2$.

$f(-2)=(-2+4{)}^2-4=4-4=0$

${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=t$

$t=0$

La función es continua en $x=-2$ para $t=0$.



Con $t=3$ la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+4{)}^2-4& \text{si }x\le -2\\ 3& \text{si }-2<x<2\\ (x-4{)}^2-4& \text{si }x\ge 2\end{array}$

El primer trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(-4,-4)$, que corta al eje de abscisas en

$(x+4{)}^2-4=0\Rightarrow x+4=\pm 2\Rightarrow x=-6,x=-2$

El tercero es la misma parábola trasladada, con vértice en $(4,-4)$ y cortes en $x=2$ y $x=6$. Entre medias, un tramo horizontal a la altura 3.

Como $t=3$ no es el valor del apartado anterior, la función salta en los dos puntos de empalme: las parábolas valen 0 y el tramo constante vale 3. Los círculos huecos marcan los extremos que el tramo horizontal no alcanza.