Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+2{)}^2& \text{si }x<0\\ t& \text{si }x=0\\ (x-2{)}^2& \text{si }x>0\end{array}$

a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=0$. (0,5 puntos)

b) Para $t=2$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)

Como la función está definida aparte en el propio punto, los dos límites laterales tienen que coincidir con ese valor, que es $t$.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=(0+2{)}^2=4$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=(0-2{)}^2=4$

Los dos límites laterales valen 4, así que la función es continua en $x=0$ para $t=4$.



Con $t=2$ la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+2{)}^2& \text{si }x<0\\ 2& \text{si }x=0\\ (x-2{)}^2& \text{si }x>0\end{array}$

Los dos trozos son parábolas abiertas hacia arriba, simétricas respecto del eje de ordenadas, con vértices en $(-2,0)$ y $(2,0)$:

$f(-4)=4,f(-2)=0,{\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=4$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=4,f(2)=0,f(4)=4$

Como $t=2$ no es el valor del apartado anterior, la función no es continua en $x=0$: las dos ramas tienden a 4 y la función vale 2. El círculo hueco marca el valor 4, que no se alcanza, y el punto lleno de la mitad, el $(0,2)$, es un punto aislado de la gráfica.