Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3+t& \text{si }x<1\\ 3& \text{si }x=1\\ (x-3{)}^2+t& \text{si }x>1\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$? (0,5 puntos)

b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1,+\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1,+\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

Como la función está definida aparte en el propio punto, los dos límites laterales tienen que coincidir con ese valor, que es 3.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1+3+t=4+t$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=(1-3{)}^2+t=4+t$

Los dos límites laterales son iguales entre sí, así que basta igualarlos a $f(1)=3$:

$4+t=3\Rightarrow t=-1$

La función es continua en $x=1$ para $t=-1$.



En ese intervalo la función es el tercer trozo, que con $t=0$ queda:

$f(x)=(x-3{)}^2$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=3$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2>0$

Al ser positiva, en $x=3$ hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f(3)=(3-3{)}^2=0$

La función presenta un mínimo relativo en el punto $(3,0)$ y ningún máximo en ese intervalo.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-3)$, que es una recta creciente que se anula en $x=3$.

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-2<0,f^{\mathrm{\prime }}(4)=2>0$



La función decrece en $(1,3)$ y crece en $(3,+\mathrm{\infty })$.