Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x-t{)}^3& \text{si }x<0\\ -2& \text{si }x=0\\ x^2-2& \text{si }x>0\end{array}$

a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=0$. (0,5 puntos)

b) Para $t=-1$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)

Como la función está definida aparte en el propio punto, los dos límites laterales tienen que coincidir con ese valor, que es $-2$.

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0^2-2=-2$

El límite por la derecha ya coincide con $f(0)$, así que la condición recae sobre el de la izquierda:

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-(0-t{)}^3=t^3$

$t^3=-2\Rightarrow t=-\sqrt[3]{2}\approx -\mathrm{1,26}$

La función es continua en $x=0$ para $t=-\sqrt[3]{2}$.



Con $t=-1$ la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x+1{)}^3& \text{si }x<0\\ -2& \text{si }x=0\\ x^2-2& \text{si }x>0\end{array}$

El primer trozo es una cúbica decreciente que corta al eje de abscisas en $x=-1$, donde además tiene su punto de inflexión. Algunos valores:

$f(-3)=-(-2{)}^3=8,f(-2)=-(-1{)}^3=1,f(-1)=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-(1{)}^3=-1$

El tercer trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(0,-2)$:

$f(2)=2,f(3)=7$

Como $t=-1$ no es el valor del apartado anterior, la función no es continua en $x=0$: por la derecha enlaza con $f(0)=-2$, pero por la izquierda tiende a $-1$, valor que marca el círculo hueco.