Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se localiza un compuesto nocivo en un río obteniéndose que su proporción durante cinco días consecutivos de análisis de muestras sigue la función $N(x)=\frac{1}{100}(-4x^4+128x^2+54)$ con $x=$ días y $(1\le x\le 5)$.

a) ¿Cuál es la proporción el tercer día? (0,25 puntos)

b) Determina qué día se obtiene el máximo y qué día se obtiene el mínimo. (1 punto)

c) ¿A qué valor ascienden ambos? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Basta sustituir el día en la función.

$N(3)={\displaystyle \frac{1}{100}}(-4\cdot 81+128\cdot 9+54)={\displaystyle \frac{1}{100}}(-324+1152+54)$

$N(3)={\displaystyle \frac{882}{100}}=\mathrm{8,82}$

El tercer día la proporción del compuesto es 8,82.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$N^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}(-16x^3+256x)$

$N^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -16x(x^2-16)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\\ x=-4\end{array}$

De los tres solo $x=4$ pertenece al intervalo $[1,5]$. Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}(-48x^2+256)\Rightarrow N^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(4)={\displaystyle \frac{-768+256}{100}}=-\mathrm{5,12}<0$

Al ser negativa, en $x=4$ hay un máximo relativo, que por ser el único punto crítico del intervalo es también el absoluto.



Como la proporción crece hasta el cuarto día y decrece después, el mínimo absoluto está en uno de los extremos del intervalo. Los valoramos:

$N(1)={\displaystyle \frac{-4+128+54}{100}}=\mathrm{1,78},N(5)={\displaystyle \frac{-2500+3200+54}{100}}=\mathrm{7,54}$

El máximo se obtiene el cuarto día y el mínimo el primero.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{ascienden}}\mathbf{\text{ambos?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Solo queda valorar la función en el día del máximo, porque el del mínimo ya está calculado.

$N(4)={\displaystyle \frac{1}{100}}(-4\cdot 256+128\cdot 16+54)={\displaystyle \frac{-1024+2048+54}{100}}=\mathrm{10,78}$

La proporción máxima es 10,78, el cuarto día, y la mínima 1,78, el primero.