Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+2t& \text{si }x<-1\\ t+1& \text{si }-1\le x\le 1\\ -x^3+4x^2+3x-1& \text{si }x>1\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x=-1$? (0,5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1,\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1,\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

En $x=-1$ empalman el primer trozo y el tramo constante, así que imponemos que los valores laterales coincidan.

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=2\cdot (-1)+2t=-2+2t$

$f(-1)=t+1$

$-2+2t=t+1\Rightarrow t=3$

La función es continua en $x=-1$ para $t=3$.



En ese intervalo la función es el tercer trozo, que no depende del parámetro:

$f(x)=-x^3+4x^2+3x-1$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+8x+3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-8x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+36}}{6}}={\displaystyle \frac{8\pm 10}{6}}$

$\{\begin{array}{l}x=3\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al intervalo $(1,\mathrm{\infty })$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+8\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=-10<0$

Al ser negativa, en $x=3$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$f(3)=-27+36+9-1=17$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(3,17)$ y ningún mínimo en ese intervalo.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+8x+3$, que es una parábola abierta hacia abajo con raíces $-\frac{1}{3}$ y 3.

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-12+16+3=7>0,f^{\mathrm{\prime }}(4)=-48+32+3=-13<0$



La función crece en $(1,3)$ y decrece en $(3,+\mathrm{\infty })$.