Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+t& \text{si }x\le 0\\ -x^3+2x^2+(t+2)x+3& \text{si }x>0\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0,5 puntos)

b) Para $t=2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0,\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

c) Para $t=2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0,\mathrm{\infty })$. (0,5 puntos)

Imponemos que los dos valores laterales en $x=0$ coincidan.

$f(0)=\mathrm{\mid }0+1\mathrm{\mid }+t=1+t$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0+0+0+3=3$

$1+t=3\Rightarrow t=2$

La función es continua en $x=0$ para $t=2$.



En ese intervalo la función es el segundo trozo, que con $t=2$ queda:

$f(x)=-x^3+2x^2+4x+3$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+4x+4$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-4x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16+48}}{6}}={\displaystyle \frac{4\pm 8}{6}}$

$\{\begin{array}{l}x=2\\ x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al intervalo $(0,\mathrm{\infty })$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+4\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=-8<0$

Al ser negativa, en $x=2$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$f(2)=-8+8+8+3=11$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(2,11)$ y ningún mínimo en ese intervalo.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+4x+4$, que es una parábola abierta hacia abajo con raíces $-\frac{2}{3}$ y 2.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3+4+4=5>0,f^{\mathrm{\prime }}(3)=-27+12+4=-11<0$



La función crece en $(0,2)$ y decrece en $(2,+\mathrm{\infty })$.