Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Halla razonadamente los parámetros $a$ y $b$ de la función $f(x)=a{x}^2+bx-20$, sabiendo que dicha función tiene un máximo en el punto $(6,16)$. (1,5 puntos)

Que la función tenga un máximo en $(6,16)$ significa dos cosas: que pasa por ese punto y que allí su derivada se anula. Empezamos por la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b$

La derivada se anula en $x=6$:

$f^{\mathrm{\prime }}(6)=12a+b=0\Rightarrow b=-12a$

Y la función pasa por el punto:

$f(6)=36a+6b-20=16\Rightarrow 36a+6b=36\Rightarrow 6a+b=6$

Sustituimos $b=-12a$ en esta última ecuación:

$6a-12a=6\Rightarrow -6a=6\Rightarrow a=-1\Rightarrow b=12$

Los parámetros son $a=-1$ y $b=12$, de modo que la función es $f(x)=-x^2+12x-20$. Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola está abierta hacia abajo y el punto $(6,16)$ es efectivamente un máximo.