Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+tx-1& \text{si }x\le 1\\ x+t& \text{si }x>1\end{array}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$? (0,5 puntos)

b) Para $t=2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-\mathrm{\infty },1)$. (0,5 puntos)

c) Para $t=2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-\mathrm{\infty },1)$. (0,5 puntos)

Los dos trozos son polinomios, luego basta imponer que los valores laterales coincidan en $x=1$.

$f(1)=2\cdot 1^2+t\cdot 1-1=1+t$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1+t$

Los dos valores son la misma expresión, así que la igualdad se cumple sea cual sea $t$: la función es continua en $x=1$ para cualquier valor del parámetro.



En ese intervalo la función es el primer trozo, que con $t=2$ queda:

$f(x)=2x^2+2x-1$

Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x+2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x+2=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4>0$

Al ser positiva, en $x=-\frac{1}{2}$ hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}-1-1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

La función presenta un mínimo relativo en el punto $(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$ y ningún máximo.



Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x+2$, que es una recta creciente que se anula en $x=-\frac{1}{2}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-2<0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=2>0$



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$ y crece en $(-\frac{1}{2},1)$.