Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

P3. Consideremos dos placas planas paralelas infinitas A y B separadas una distancia $d=3\text{ cm}$ y entre las que existe un campo eléctrico uniforme y constante, $\vec{E}=-2\cdot {10}^5\widehat{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$. Por el punto O, equidistante de las placas (ver dibujo), penetra un protón con velocidad $\overrightarrow{v_o}=5\cdot {10}^6\widehat{\mathrm{ı}}\text{ m/s}$. Determinar:
a) El vector aceleración que actúa sobre el protón y dibujar cualitativamente la trayectoria que sigue éste razonando la respuesta. (1 punto)
b) El vector velocidad del protón cuando alcanza la placa B. (1 punto)
c) Cuánto tendría que valer un campo magnético $\vec{B}$ uniforme y constante en la región entre placas para que el protón siguiera en línea recta tras entrar por O. (1 punto)
Datos: masa del protón $=\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$, carga del protón $=+\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dibujar}}\mathbf{\text{cualitativamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sigue,}}\mathbf{\text{razonando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Sobre el protón actúa únicamente la fuerza eléctrica del campo:

$\vec{F}=q\vec{E}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot (-2\cdot {10}^5\vec{\mathrm{ȷ}})=-\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-14}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

Aplicando la segunda ley de Newton:

$\vec{a}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}}}\vec{\mathrm{ȷ}}=-\mathrm{1,88}\cdot {10}^{13}\vec{\mathrm{ȷ}}{\text{m/s}}^2$










La aceleración es constante y está dirigida hacia la placa B. Como la velocidad de entrada es horizontal, el movimiento resulta de componer uno uniforme en el eje $X$ con otro uniformemente acelerado en el eje $Y$: la trayectoria es un arco de parábola, idéntico al de un tiro horizontal.





$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El protón entra por el punto medio, así que para llegar a la placa B debe descender la mitad de la separación:

$y={\displaystyle \frac{d}{2}}=\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

Del movimiento vertical, uniformemente acelerado y con velocidad inicial nula, obtenemos el tiempo de vuelo:

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}a{t}^2\Rightarrow t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2y}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,5}\cdot {10}^{-2}}{\mathrm{1,88}\cdot {10}^{13}}}}=\mathrm{3,99}\cdot {10}^{-8}\text{ s}$

La componente horizontal de la velocidad no cambia y la vertical crece con el tiempo:

$v_x=5\cdot {10}^6\text{ m/s}{v}_y=at=\mathrm{7,51}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

Como la aceleración va en el sentido negativo del eje $Y$:

${\vec{v}}_B=(5\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{7,51}\cdot {10}^5\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ m/s}$

Su módulo es $\mathrm{5,06}\cdot {10}^6\text{ m/s}$ y forma con la horizontal un ángulo de ${\mathrm{8,5}}^{\circ }$: el protón se desvía poco, porque atraviesa la región en muy poco tiempo.



Para que la trayectoria sea rectilínea la fuerza total debe anularse:

$q\vec{E}+q(\vec{v}\times \vec{B})=\vec{0}\Rightarrow \vec{v}\times \vec{B}=-\vec{E}$

La fuerza eléctrica sobre el protón va hacia abajo, luego la magnética debe ir hacia arriba. Con la velocidad según $\vec{\mathrm{ı}}$, el campo ha de ser perpendicular al plano del movimiento, $\vec{B}=B_z\vec{k}$:

$\vec{v}\times \vec{B}=v_0{B}_z(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k})=-v_0{B}_z\vec{\mathrm{ȷ}}$

Igualando con $-\vec{E}=+2\cdot {10}^5\vec{\mathrm{ȷ}}$:

$B_z=-{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^5}{5\cdot {10}^6}}=-4\cdot {10}^{-2}\text{ T}$

Hace falta un campo magnético de $4\cdot {10}^{-2}\text{ T}$ dirigido hacia el interior del papel. Es la configuración del selector de velocidades: solo los protones que entran con $v=E\mathrm{/}B$ atraviesan la región sin desviarse.