Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

P1. El positrón es una partícula idéntica al electrón $(e^{-})$ en todas sus propiedades salvo en el signo de su carga eléctrica, que es positiva.

a) Si inicialmente tenemos en reposo un $e^{-}$ y un $e^{+}$ separados $7nm$ de distancia entre sí, calcular la energía que hay que aportar para separarlos una distancia infinita. (1 punto)

b) Aceleramos un positrón desde el reposo mediante un campo eléctrico constante de $2840V\mathrm{/}m$. Calcular qué distancia recorrerá para alcanzar una velocidad de $1000m\mathrm{/}s$. (1 punto)

c) Posteriormente este positrón con velocidad de $1000m\mathrm{/}s$ penetra perpendicularmente en un campo magnético de la Tierra, que en esa región vale $50\mu T$. Determinar el radio de la trayectoria descrita por el positrón. (1 punto)

Datos: ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=9\cdot {10}^{9}N{m}^2{C}^{-2}$, carga del electrón $=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}C$, masa del electrón $=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}kg$.

El electrón y el positrón tienen cargas iguales y opuestas. La energía potencial electrostática del par a una distancia $r$ es:

$U={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{q_{+}{q}_{-}}{r}}$

Como parten del reposo y llegan al infinito en reposo, la energía que hay que aportar coincide con la variación de energía potencial, y en el infinito esta es nula:

$W=U_{\mathrm{\infty }}-U=0-(-{\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{q^2}{r}})={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{q^2}{r}}$

Sustituimos con $r=7\text{ nm}=7\cdot {10}^{-9}\text{ m}$:

$W=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{(\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2}{7\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{3,29}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

Hay que aportar $\mathrm{3,29}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$, es decir, unos $\mathrm{0,21}\text{ eV}$. El signo positivo confirma que el par es un sistema ligado: solo con energía externa pueden separarse indefinidamente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Aceleramos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{positr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2840</mn><mtext> V/m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{recorrer}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1000</mn><mtext> m/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La fuerza eléctrica $F=qE$ es constante y su trabajo se invierte íntegramente en energía cinética, pues el positrón parte del reposo. Por el teorema de las fuerzas vivas:

$qEd={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\Rightarrow d={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2qE}}$

Sustituimos con la masa y la carga del positrón, iguales en módulo a las del electrón:

$d={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot (1000{)}^2}{2\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 2840}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-25}}{\mathrm{9,09}\cdot {10}^{-16}}}$

$d=\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-9}\text{ m}$

Al positrón le basta recorrer $\mathrm{1,00}\text{ nm}$ para alcanzar los $1000\text{ m/s}$.












Al entrar perpendicularmente al campo, la fuerza magnética $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$ es perpendicular a la velocidad y de módulo constante $F=qvB$. Actúa por tanto como fuerza centrípeta y el positrón describe una circunferencia:

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$





Sustituimos con $B=50\mu \text{T}=5\cdot {10}^{-5}\text{ T}$:

$R={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot 1000}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 5\cdot {10}^{-5}}}=\mathrm{1,14}\cdot {10}^{-4}\text{ m}$

El positrón describe una circunferencia de $\mathrm{0,11}\text{ mm}$ de radio, una trayectoria diminuta porque su masa es muy pequeña.