Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

P3. Consideramos dos cargas eléctricas en el plano $xy$. La primera, de valor $q_1=+2\mu \text{C}$, está colocada en el punto $(3,0)$ y la segunda, de valor $q_2=-1\mu \text{C}$ está situada en el punto $(0,1)$, (distancias dadas en $\text{cm}$). Calcular:

a) La energía potencial eléctrica total del sistema. (1 punto)

b) La fuerza eléctrica (en forma vectorial) que ejerce la carga $q_2$ sobre $q_1$. (1 punto)

c) El trabajo externo que habría que realizar para llevar una carga de $+3\mu \text{C}$ desde el origen hasta el infinito. (1 punto)

Dato: ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=9\cdot {10}^9\text{N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

Antes de responder calculamos la distancia entre las dos cargas, que interviene en los dos primeros apartados:

$r=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}\text{ cm}=\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía potencial de un par de cargas puntuales es:

$U=k{\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{r}}$

Sustituimos con $q_1=+2\cdot {10}^{-6}\text{ C}$ y $q_2=-1\cdot {10}^{-6}\text{ C}$:

$U=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{(2\cdot {10}^{-6})(-1\cdot {10}^{-6})}{\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-2}}}=-\mathrm{0,569}\text{ J}$

La energía potencial del sistema es $-\mathrm{0,569}\text{ J}$. El signo negativo indica que se trata de un sistema ligado, como corresponde a dos cargas de signo opuesto que se atraen.












Aplicamos la ley de Coulomb. Su módulo es:

$F=k{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}\cdot {10}^{-6}}{{10}^{-3}}}=18\text{ N}$

Como las cargas son de signo opuesto, la fuerza sobre $q_1$ es atractiva y apunta hacia $q_2$.





El vector unitario que va de $q_1$ a $q_2$ es:

$\vec{u}={\displaystyle \frac{(0-3,1-0)}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{(-3,1)}{\sqrt{10}}}$

Multiplicando por el módulo:

$\vec{F}=18\cdot {\displaystyle \frac{(-3,1)}{\sqrt{10}}}=(-\mathrm{17,1}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{5,69}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ N}$

La fuerza sobre $q_1$ tiene un módulo de $18\text{ N}$ y está dirigida hacia la carga negativa, como se comprueba al calcular $\sqrt{{\mathrm{17,1}}^2+{\mathrm{5,69}}^2}=18\text{ N}$.



Calculamos el potencial que las dos cargas crean en el origen, sumando sus contribuciones por ser el potencial una magnitud escalar. Las distancias al origen son $d_1=\mathrm{0,03}\text{ m}$ y $d_2=\mathrm{0,01}\text{ m}$:

$V_O=k({\displaystyle \frac{q_1}{d_1}}+{\displaystyle \frac{q_2}{d_2}})=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,03}}}-{\displaystyle \frac{{10}^{-6}}{\mathrm{0,01}}})$

$V_O=9\cdot {10}^9\cdot (-\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-5})=-3\cdot {10}^5\text{ V}$

El trabajo externo, con la carga desplazada muy despacio, coincide con la variación de energía potencial, y en el infinito el potencial es nulo:

$W_{\text{ext}}=q(V_{\mathrm{\infty }}-V_O)=3\cdot {10}^{-6}\cdot (0+3\cdot {10}^5)=+\mathrm{0,9}\text{ J}$

Hay que aportar $\mathrm{0,9}\text{ J}$ desde el exterior. El signo positivo era previsible: la carga positiva se encuentra en una región de potencial negativo, es decir, está ligada al sistema, y llevarla al infinito eleva su energía potencial hasta cero.