Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

P3. La figura muestra una configuración de tres cargas de valores $q_1=2\text{ mC}$, $q_2=2\text{ mC}$ y $q_3=-2\text{ mC}$ situadas en las posiciones $(\mathrm{0,1})$, $(\mathrm{0,0})$ y $(\mathrm{1,0})$ respectivamente (distancias dadas en metros).



Calcular:

a) La energía potencial eléctrica total del sistema. (1 punto)

b) El trabajo que habría que realizar (externo) para llevar la carga $q_3$ desde el punto $D(\mathrm{0,5,0})$. (1 punto)

c) La fuerza eléctrica que siente la carga $q_3$ en el punto A. (1 punto)

Dato: $1\mathrm{/}4\pi {\epsilon }_0=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$

Las tres cargas son $q_1=q_2=2\text{ mC}$ y $q_3=-2\text{ mC}$, situadas respectivamente en los puntos $A(0,1)$, $B(0,0)$ y $C(1,0)$ de la figura. Las distancias entre ellas son $d_{AB}=1\text{ m}$, $d_{BC}=1\text{ m}$ y $d_{AC}=\sqrt{2}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía potencial de un sistema de cargas puntuales es la suma de las energías de todas las parejas posibles, contando cada una una sola vez:

$U=k({\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{d_{AB}}}+{\displaystyle \frac{q_1{q}_3}{d_{AC}}}+{\displaystyle \frac{q_2{q}_3}{d_{BC}}})$

Calculamos cada término:

$U_{AB}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{(2\cdot {10}^{-3}{)}^2}{1}}=+\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ J}$

$U_{AC}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{-(2\cdot {10}^{-3}{)}^2}{\sqrt{2}}}=-\mathrm{2,55}\cdot {10}^4\text{ J}$

$U_{BC}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{-(2\cdot {10}^{-3}{)}^2}{1}}=-\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ J}$

$U=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4-\mathrm{2,55}\cdot {10}^4-\mathrm{3,6}\cdot {10}^4=-\mathrm{2,55}\cdot {10}^4\text{ J}$

La energía potencial total es negativa, señal de que el sistema está ligado: habría que aportar $\mathrm{2,55}\cdot {10}^4\text{ J}$ para separar las tres cargas hasta el infinito.



El trabajo de una fuerza externa que desplaza la carga sin variación de energía cinética es la variación de su energía potencial, y esta se calcula con el potencial que crean las otras dos cargas:

$W_{\text{ext}}=q_1(V_D-V_A)$

En $A(0,1)$ las distancias a las cargas de $B$ y $C$ son $1\text{ m}$ y $\sqrt{2}\text{ m}$:

$V_A=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-3}}{1}}-{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-3}}{\sqrt{2}}})=\mathrm{5,27}\cdot {10}^6\text{ V}$

En $D(\mathrm{0,5};0)$ ambas distancias valen $\mathrm{0,5}\text{ m}$, y como las cargas son iguales y de signo contrario sus potenciales se cancelan:

$V_D=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,5}}}-{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,5}}})=0\text{ V}$

$W_{\text{ext}}=2\cdot {10}^{-3}(0-\mathrm{5,27}\cdot {10}^6)=-\mathrm{1,05}\cdot {10}^4\text{ J}$

El trabajo externo es negativo: la carga positiva se mueve espontáneamente hacia potenciales menores, de modo que es el campo el que realiza trabajo positivo y el agente externo debe frenarla.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{siente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Aplicamos la ley de Coulomb a cada pareja y sumamos vectorialmente. La carga de $B$ es positiva y la repele, con dirección $+\vec{\mathrm{ȷ}}$:

$F_B=k{\displaystyle \frac{q^2}{1^2}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N}$

La de $C$ es negativa y la atrae, en la dirección de $A$ a $C$:

$F_C=k{\displaystyle \frac{q^2}{(\sqrt{2}{)}^2}}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ N}$





El unitario de $A$ a $C$ es $(1,-1)\mathrm{/}\sqrt{2}$, luego:

${\vec{F}}_C=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4{\displaystyle \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}}=(\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4)\text{ N}$

Sumamos por componentes, según el principio de superposición:

$\vec{F}=(\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,\mathrm{3,6}\cdot {10}^4-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4)=(\mathrm{1,27}\cdot {10}^4,\mathrm{2,33}\cdot {10}^4)\text{ N}$

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\sqrt{(\mathrm{1,27}\cdot {10}^4{)}^2+(\mathrm{2,33}\cdot {10}^4{)}^2}=\mathrm{2,65}\cdot {10}^4\text{ N}$

La carga situada en $A$ soporta una fuerza de $\mathrm{2,65}\cdot {10}^4\text{ N}$ dirigida hacia el primer cuadrante, formando ${61}^{\circ }$ con el eje $X$: predomina la repulsión de la carga de $B$, que está más cerca.