Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

País Vasco, junio 19, opción A

Sobre una mesa tengo tres cajas con botones; la primera caja tiene 3 botones, la segunda, 5 y la tercera 4. Cada una de las cajas contiene un solo botón rojo. Si elijo al azar una caja y saco de ella un botón al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un botón rojo?

b) Si he sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de pertenezca a la primera caja?

Se designan con $I$, $II$ y $III$ las cajas primera, segunda y tercera.

La probabilidad de elegir cada caja es la misma:

$P(I)=P(II)=P(III)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Si $R$ designa el suceso “sacar un botón rojo”, entonces:

$P(R\mathrm{/}I)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(R\mathrm{/}II)={\displaystyle \frac{1}{5}}$

$P(R\mathrm{/}III)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

a) Por probabilidad total, la probabilidad de sacar un botón rojo es:

$P(R)=P(I)\cdot P(R\mathrm{/}I)+P(II)\cdot P(R\mathrm{/}II)+P(III)\cdot P(R\mathrm{/}III)$

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{47}{180}}\approx 0,26$

b) Por probabilidad condicionada, usando Bayes:

$P(I\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{P(I)\cdot P(R\mathrm{/}I)}{P(R)}}$

$P(I\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{47}{180}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{9}}}{{\displaystyle \frac{47}{180}}}}={\displaystyle \frac{20}{47}}\approx 0,43$

También puede hacerse con un diagrama de árbol: