Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El 30 % de los habitantes de una localidad son jubilados y el 20 % son estudiantes, mientras que el resto ni están jubilados ni son estudiantes. El 80 % de los jubilados, así como el 20 % de los estudiantes y el 40 % del resto de habitantes, son socios del club de fútbol local.

a) Elegido al azar un habitante de esa localidad, calcula la probabilidad de que sea socio del club de fútbol.

b) Elegido al azar un socio del club de fútbol, calcula la probabilidad de que sea jubilado.

c) Elegida al azar una persona que no es socio del club, ¿qué es más probable que sea jubilado o estudiante?

Se consideran los sucesos $J=$ "el habitante es jubilado", $S=$ "el habitante es estudiante", $R=$ "el habitante no es jubilado ni estudiante". Además, sea $C=$ "el habitante es socio del club de fútbol". Se tiene que:

$P(J)=0,3$ $P(S)=0,2$ $P(R)=0,5$ $P(C\mid J)=0,8$ $P(C\mid S)=0,2$ $P(C\mid R)=0,4$

En el diagrama de árbol se describe la situación.



a) $P(C)=P(C\mid J)P(J)+P(C\mid S)P(S)+P(C\mid R)P(R)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,2+0,4\cdot 0,5=0,48$

b) $P(J\mid C)={\displaystyle \frac{P(C\mid J)P(J)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{0,8\cdot 0,3}{0,48}}=0,5$

c) Se deben calcular las probabilidades $P(J\mid \bar{C})$ y $P(S\mid \bar{C})$ y compararlas:

$P(J\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{P(J\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{P(J)-P(J\cap C)}{1-P(C)}}={\displaystyle \frac{0,3-0,24}{1-0,48}}=0,1154$

Donde $P(J\cap C)=P(C\mid J)P(J)=0,8\cdot 0,3=0,24$

$P(S\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{P(S\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{P(S)-P(S\cap C)}{1-P(C)}}={\displaystyle \frac{0,2-0,04}{1-0,48}}=0,3077$

Donde $P(S\cap C)=P(C\mid S)P(S)=0,2\cdot 0,2=0,04$

De forma que si la persona elegida al azar no es socio del club de fútbol, entonces es más probable que sea estudiante que jubilado.