Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En una autoescuela especializada, se ha impartido un curso de mejora de la conducción a 50 conductores que han perdido todos los puntos del permiso de conducir. De los asistentes al curso, 30 son jóvenes menores de 35 años. Después de un tiempo, se constata que un 70 % de los jóvenes ha mejorado su conducción. Este porcentaje asciende al 80 % en el resto de los asistentes. Si aleatoriamente se elige una persona que asistió al curso, calcula la probabilidad de que:

a) Haya mejorado su conducción.

b) Tenga menos de 35 años, sabiendo que ha mejorado su conducción.

Se consideran los sucesos $A=$ "la persona elegida es joven menor de 35 años", $\bar{A}=$ "la persona elegida tiene 35 o más años" y $M=$ "la persona elegida ha mejorado su conducción"

Se sabe que:

$P(A)={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$, $P(\bar{A})={\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$, $P(M\mid A)=0,7$, $P(M\mid \bar{A})=0,8$

a) Utilizando el teorema de la probabilidad total:

$P(M)=P(M\mid A)P(A)+P(M\mid \bar{A})P(\bar{A})=0,7\cdot 0,6+0,8\cdot 0,4=0,74$

b) Por el teorema de Bayes:

$P(A\mid M)={\displaystyle \frac{P(M\mid A)P(A)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{0,7\cdot 0,6}{0,74}}=0,56757$