Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Una urna contiene una bola roja y una blanca. Se extrae una bola de la urna y se anota su color y se devuelve a la urna. Se repite el experimento dos veces más, calcula la probabilidad de que:

a) Sólo una sea roja.

b) Al menos una bola sea roja.

c) Las tres sean blancas.

d) Sean del mismo color.

Como en cada extracción se devuelve la bola a la urna, las dos bolas (roja y blanca) tienen siempre la misma posibilidad de salir, por lo que todos los resultados de las tres extracciones son equiprobables. El conjunto de resultados posibles es $E=\{BBB,BBR,BRB,RBB,BRR,RBR,RRB,RRR\}$.

Donde por ejemplo, BRB, representa el resultado en el que la primera bola sea blanca, la segunda roja y la tercera blanca. En total hay $8$ resultados posibles.

Al ser todos los resultados equiprobables, en todos los apartados aplicaremos la regla de Laplace, que dice que la probabilidad de un suceso es el cociente entre los casos favorables y los casos posibles:

$P(\text{suceso})={\displaystyle \frac{n^{\text{o}}\text{ de casos favorables}}{n^{\text{o}}\text{ de casos posibles}}}$

a) Aplicamos la regla de Laplace. El suceso $A$ = \"solo una bola es roja\" es $A=\{BRR,RBR,RRB\}$, y su probabilidad es:

$P(A)={\displaystyle \frac{n^{\text{o}}\text{ de resultados favorables al suceso }A}{n^{\text{o}}\text{ de resultados posibles}}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$

b) Aplicamos la regla de Laplace. El suceso $C$ = \"al menos una bola es roja\" es $C=\{BBR,BRB,RBB,BRR,RBR,RRB,RRR\}$, de modo que:

$P(C)={\displaystyle \frac{n^{\text{o}}\text{ de resultados favorables al suceso }C}{n^{\text{o}}\text{ de resultados posibles}}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$

c) Aplicamos la regla de Laplace. El suceso $D$ = \"las tres son blancas\" es $D=\{BBB\}$, por lo que:

$P(D)={\displaystyle \frac{n^{\text{o}}\text{ de resultados favorables al suceso }D}{n^{\text{o}}\text{ de resultados posibles}}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$

También se puede obtener por la probabilidad del suceso contrario, ya que $D$ es el contrario de $C$ (\"al menos una roja\"). Usando que $P(\bar{C})=1-P(C)$, se tiene $P(D)=1-{\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$, que coincide con el resultado anterior.

d) Aplicamos la regla de Laplace. El suceso $F$ = \"son del mismo color\" es $F=\{BBB,RRR\}$, luego:

$P(F)={\displaystyle \frac{n^{\text{o}}\text{ de resultados favorables al suceso }F}{n^{\text{o}}\text{ de resultados posibles}}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$