Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En una campaña de prevención de la gripe se vacuna al 40 % de la población en riesgo. Se sabe que la enfermedad afecta al 20 % de los vacunados y al 50 % de los no vacunados. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar:

$\mathbf{\text{a)}}$ Enferme y haya sido vacunada.

$\mathbf{\text{b)}}$ Enferme y no haya sido vacunada.

Sean los sucesos $V=$ "la persona ha sido vacunada" y $F=$ "la persona enferma".

Se tiene que:

$P(V)=\mathrm{0,4},P(\bar{V})=\mathrm{0,6},P(F\mid V)=\mathrm{0,2},P(F\mid \bar{V})=\mathrm{0,5}$

En los dos apartados nos piden la probabilidad de una intersección conociendo una probabilidad condicionada, así que usaremos la regla del producto, que se deduce de la definición de probabilidad condicionada $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$ despejando: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$. La empleamos porque conocemos la probabilidad de vacunarse (o no) y la probabilidad de enfermar condicionada a cada caso.

$\mathbf{\text{a)}}$ Se pide la probabilidad del suceso $V\cap F$. Aplicando la regla del producto $P(V\cap F)=P(V)\cdot P(F\mid V)$, se calcula:

$P(V\cap F)=P(F\mid V)P(V)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}$

$\mathbf{\text{b)}}$ En este caso, se trata del suceso $\bar{V}\cap F$. De nuevo por la regla del producto $P(\bar{V}\cap F)=P(\bar{V})\cdot P(F\mid \bar{V})$, su probabilidad es:

$P(\bar{V}\cap F)=P(F\mid \bar{V})P(\bar{V})=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,3}$