Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En una población, de cada cien bebés que nacen, 30 son rubios y el resto morenos. De los rubios, el 80 % tiene los ojos azules, mientras que tienen ojos azules el 20 % de los morenos. Si se elige un bebé al azar, calcula la probabilidad de que:

$\mathbf{\text{a)}}$ Sea rubio y tenga los ojos azules.

$\mathbf{\text{b)}}$ Sea moreno y no tenga los ojos azules.

Sean los sucesos $R=$ "el bebé es rubio", $M=$ "el bebé es moreno" y $A=$ "el bebé tiene los ojos azules". Por los datos proporcionados se sabe que: $P(R)=\mathrm{0,3},P(M)=\mathrm{0,7},P(A\mid R)=\mathrm{0,8}yP(A\mid M)=\mathrm{0,2}$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Se trata de la probabilidad del suceso $R\cap A$. Como conocemos la probabilidad condicionada $P(A\mid R)$, usamos la regla del producto, que despeja la intersección a partir de la definición de probabilidad condicionada $P(A\mid R)={\displaystyle \frac{P(R\cap A)}{P(R)}}$; es decir, $P(R\cap A)=P(A\mid R)\cdot P(R)$. Aplicamos esta propiedad porque sabemos la proporción de ojos azules dentro de los rubios y la proporción de rubios:

$P(R\cap A)=P(A\mid R)\cdot P(R)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,24}$

$\mathbf{\text{b)}}$ En este caso se debe calcular la probabilidad del suceso $M\cap \bar{A}$. De nuevo aplicamos la regla del producto $P(M\cap \bar{A})=P(\bar{A}\mid M)\cdot P(M)$, pero antes necesitamos la condicionada del suceso contrario, que se obtiene con la regla del complementario $P(\bar{A}\mid M)=1-P(A\mid M)$ (la probabilidad de NO tener ojos azules entre los morenos es lo que falta hasta $1$):

Siendo $P(\bar{A}\mid M)=1-P(A\mid M)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

$P(M\cap \bar{A})=P(\bar{A}\mid M)\cdot P(M)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,56}$