Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En una auditoría trabajan tres personas, $A$, $B$ y $C$. $A$ realiza el 30 % de las auditorías de $A$, $B$ realiza el 45 % y $C$ realiza el resto. El porcentaje de errores de $A$, $B$ y $C$ es, respectivamente, 1 %, 3 % y 2 %. Elegida una auditoría al azar, calcula la probabilidad de que no tenga errores.

Las auditorías quedan repartidas entre tres personas que forman un sistema completo de sucesos (toda auditoría la hace $A$, $Bltx$ o $ltxC$, y son incompatibles). Por eso, para hallar la probabilidad de un suceso que depende de quién la hizo, usamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$:

$P(D)=P(A)\cdot P(D\mid A)+P(B)\cdot P(D\mid B)+P(C)\cdot P(D\mid C)$

donde cada sumando es la probabilidad de elegir a esa persona multiplicada por la probabilidad condicionada de que su auditoría cumpla la condición buscada.

Datos de partida. Los porcentajes de trabajo dan las probabilidades de cada persona: $P(A)=\mathrm{0,3}$, $P(B)=\mathrm{0,45}$ y, como $C$ hace el resto, $P(C)=1-\mathrm{0,3}-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,25}$.

Se considera el suceso $D=$ \"no tenga errores\". Como el porcentaje de errores es el suceso contrario al de no tener errores, aplicamos la $\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{contrario}}$ $P(\bar{E})=1-P(E)$ sobre cada porcentaje de error:

$P(D\mid A)=1-\mathrm{0,01}=\mathrm{0,99},P(D\mid B)=1-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,97},P(D\mid C)=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}$

Sustituyendo en la fórmula de la probabilidad total:

$P(D)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,99}+\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,97}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,98}=\mathrm{0,9785}$