Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde, 150, y por la noche, 30. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2 %, por la tarde, del 4 %, y por la noche, del 6 %.

a) Calcula la probabilidad de que se retrase un vuelo con destino a este aeropuerto.

b) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo nocturno?

Se consideran los sucesos $M=$ "el vuelo es de la mañana", $T=$ "el vuelo es de la tarde" y $N=$ "el vuelo es nocturno". Estos tres sucesos forman un sistema completo (todo vuelo es de uno de los tres turnos y son incompatibles entre sí). El número total de vuelos es 300, así que por la regla de Laplace $P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}$:

$P(M)={\displaystyle \frac{120}{300}}={\displaystyle \frac{2}{5}}P(T)={\displaystyle \frac{150}{300}}={\displaystyle \frac{1}{2}}P(N)={\displaystyle \frac{30}{300}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

Además, sea $R=$ "el vuelo llega con retraso". Los porcentajes de retraso de cada turno son probabilidades condicionadas (la probabilidad de retraso sabiendo el turno):

$P(R\mid M)=\mathrm{0,02}P(R\mid T)=\mathrm{0,04}P(R\mid N)=\mathrm{0,06}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Como $M$, $Tltx$ y $ltxN$ forman un sistema completo de sucesos, la probabilidad de retraso se obtiene con el teorema de la probabilidad total, que reparte $P(R)$ según cada turno:

$P(R)=P(M)\cdot P(R\mid M)+P(T)\cdot P(R\mid T)+P(N)\cdot P(R\mid N)$

Sustituyendo:

$P(R)=\mathrm{0,02}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+\mathrm{0,04}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{0,06}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,034}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Ahora se pide la probabilidad condicionada inversa: dado el retraso, que sea nocturno. Se usa el teorema de Bayes, que invierte el condicionamiento a partir de $P(R\mid N)$ y de $P(R)$ calculada en el apartado a):

$P(N\mid R)={\displaystyle \frac{P(R\mid N)\cdot P(N)}{P(R)}}$

Sustituyendo:

$P(N\mid R)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}\cdot \frac{1}{10}}{\mathrm{0,034}}}=\mathrm{0,1765}$