Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

En una autoescuela especializada, se ha impartido un curso de mejora de la conducción a 50 conductores que han perdido todos los puntos del permiso de conducir. De los asistentes al curso, 30 son jóvenes menores de 35 años. Después de un tiempo, se constata que un 70 % de los jóvenes ha mejorado su conducción. Este porcentaje asciende al 80 % en el resto de los asistentes. Si aleatoriamente se elige una persona que asistió al curso, calcula la probabilidad de que:

a) Haya mejorado su conducción.

b) Tenga menos de 35 años, sabiendo que ha mejorado su conducción.

Se consideran los sucesos $A=$ "la persona elegida es joven menor de 35 años", $\bar{A}=$ "la persona elegida tiene 35 o más años" y $M=$ "la persona elegida ha mejorado su conducción".

Los sucesos $Altx$ y $ltx\bar{A}$ forman un sistema completo (toda persona es joven o no lo es, sin solaparse), por lo que podremos aplicar los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Se sabe que:

$P(A)={\displaystyle \frac{30}{50}}=\mathrm{0,6}P(\bar{A})={\displaystyle \frac{20}{50}}=\mathrm{0,4}P(M\mid A)=\mathrm{0,7}P(M\mid \bar{A})=\mathrm{0,8}$

a) Como $M$ puede ocurrir tanto en $A$ como en $\bar{A}$, usamos el teorema de la probabilidad total, que combina las probabilidades de mejorar en cada grupo ponderadas por el peso de cada grupo:

$P(M)=P(M\mid A)\cdot P(A)+P(M\mid \bar{A})\cdot P(\bar{A})$

Sustituyendo:

$P(M)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,6}+\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,74}$

b) Ahora pedimos la probabilidad de ser joven sabiendo que ha mejorado, es decir, invertimos la condición. Para ello usamos el teorema de Bayes (probabilidad condicionada):

$P(A\mid M)={\displaystyle \frac{P(M\mid A)\cdot P(A)}{P(M)}}$

Sustituyendo:

$P(A\mid M)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,6}}{\mathrm{0,74}}}=\mathrm{0,56757}$