Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Al servicio de urgencias de un hospital llegan pacientes de tres procedencias distintas: remitidos por centros de salud $(47\mathrm{\%})$, por iniciativa propia $(32\mathrm{\%})$ y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias $(21\mathrm{\%})$. Los pacientes que presentan dolencias graves son el $10\mathrm{\%}$, el $4\mathrm{\%}$ y el $25\mathrm{\%}$, respectivamente. Si se elige aleatoriamente un paciente que llega a dicho servicio:

a) Hallar la probabilidad de que no tenga dolencia grave.

b) Si se detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa propia.

Sean los sucesos $S=$ "el paciente llega a urgencias remitido por el centro de salud", $R=$ "por iniciativa propia" y $A=$ "afectado por accidente" forman un sistema completo de sucesos.

Considera el suceso $G=$ "el paciente presenta dolencia grave". Se tiene que:

$P(S)=\mathrm{0,47}P(R)=\mathrm{0,32}P(A)=\mathrm{0,21}P(G\mid S)=\mathrm{0,1}P(G\mid R)=\mathrm{0,04}P(G\mid A)=\mathrm{0,25}$

La situación se puede representar en un diagrama de árbol.

a) Como $S$, $Rltx$ y $ltxA$ forman un sistema completo de sucesos, la probabilidad de presentar una dolencia grave se obtiene con el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$, que reparte $P(G)$ según cada procedencia: $P(G)=P(G\mid S)\cdot P(S)+P(G\mid R)\cdot P(R)+P(G\mid A)\cdot P(A)$. Después, como "no tener dolencia grave" es el suceso contrario de $G$, se aplica la regla del contrario $P(\bar{G})=1-P(G)$.

Calculamos primero $P(G)$ mediante el teorema de la probabilidad total:

$P(G)=P(G\mid S)\cdot P(S)+P(G\mid R)\cdot P(R)+P(G\mid A)\cdot P(A)=$

$=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,47}+\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,32}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,21}=\mathrm{0,1123}$

Entonces $P(\bar{G})=1-P(G)=1-\mathrm{0,1123}=\mathrm{0,8877}$.

b) Ahora se pide la probabilidad de la causa (iniciativa propia) sabiendo el efecto (dolencia grave), es decir, una probabilidad condicionada "al revés" de las que conocemos. Para invertir el condicionamiento se usa el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bayes}}$: $P(R\mid G)={\displaystyle \frac{P(G\mid R)\cdot P(R)}{P(G)}}$, donde el denominador $P(G)$ es el valor ya calculado en el apartado anterior. Sustituyendo:

$P(R\mid G)={\displaystyle \frac{P(G\mid R)\cdot P(R)}{P(G)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,32}}{\mathrm{0,1123}}}=\mathrm{0,1140}$