Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Un paciente acuda a su médico al encontrarse enfermo desde hace varios días. Tras un cuidadoso análisis preliminar, el médico duda al 50 % de si el paciente tendrá o no tuberculosis, por lo que le prescribe una prueba específica.

La prueba consiste en un análisis de sangre que da positivo si el paciente tiene la enfermedad en el 99 % de los casos y da negativo si el paciente no tiene la enfermedad en el 98 % de los casos. Calcula la probabilidad de que nuestro paciente:

a) Dé positivo en el test.

b) Esté realmente enfermo de tuberculosis, si el test da resultado negativo.

Sea el suceso $T=$ "el paciente tiene tuberculosis". Según el diagnóstico inicial del médico $P(T)=\mathrm{0,5}$, $P(\bar{T})=\mathrm{0,5}$.

Considera el suceso $A=$ "la prueba da positivo en tuberculosis".

$P(A\mid T)=\mathrm{0,99}P(A\mid \bar{T})=\mathrm{0,98}$

Y, por tanto, $P(\bar{A}\mid T)=\mathrm{0,01}P(A\mid \bar{T})=\mathrm{0,02}$

En el diagrama de árbol se representa la situación.

$\mathbf{\text{a)}}$ Como $\{T,\bar{T}\}$ forman un sistema completo de sucesos (el paciente tiene o no la enfermedad), usamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$, que descompone la probabilidad de $A$ según cada caso:

$P(A)=P(A\mid T)P(T)+P(A\mid \bar{T})P(\bar{T})$

Sustituyendo:

$P(A)=P(A\mid T)P(T)+P(A\mid \bar{T})P(\bar{T})=\mathrm{0,99}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,505}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Se trata de calcular la probabilidad del suceso $T$ condicionado por el suceso $\bar{A}$, es decir, invertir el condicionamiento. Para ello usamos el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bayes}}$:

$P(T\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\mid T)P(T)}{P(\bar{A})}}$

donde el denominador se obtiene con el suceso contrario, $P(\bar{A})=1-P(A)$. Sustituyendo:

$P(T\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\mid T)P(T)}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,5}}{1-\mathrm{0,505}}}=\mathrm{0,0101}$