Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Se dispone de un dado tetraédrico trucado con cuatro caras con puntuaciones: 1, 2, 3, 4, de modo que $P(4)=4P(1)$, $P(3)=3P(1)$, $P(2)=2P(1)$ en donde $P(4)$ indica la probabilidad de obtener la puntuación 4 al lanzar el dado y así sucesivamente. Se dispone también de una urna con cinco bolas con dos números: 1 bola roja y 2 bolas verdes; una $U_1$: 3 bolas rojas y 2 bolas verdes; y otra $U_2$: 5 bolas verdes. Se lanza el dado y según el número par extraemos una bola de la urna $U_1$. Si sale impar extraemos una bola de la urna $U_2$. Se pide:

a) Determinar las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado de cuatro caras.

b) Se lanza el dado y a continuación extraemos una bola de la urna que corresponda. Halla la probabilidad de que sea de color verde.

$\mathbf{\text{a)}}$ $\mathbf{\text{Propiedad}}\mathbf{\text{(axioma)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{usamos:}}$ las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento deben sumar 1, es decir, $P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1$. La aplicamos porque, al expresar todas las probabilidades en función de una sola incógnita, esta condición nos permite despejarla.

Sea $p=P(1)$, entonces $P(4)=4p$, $P(3)=3p$, $P(2)=2p$. Como las probabilidades deben sumar 1:

$p+2p+3p+4p=1\Rightarrow 10p=1\Rightarrow p=\mathrm{0,1}$

De esta forma:

$P(4)=\mathrm{0,4}P(3)=\mathrm{0,3}P(2)=\mathrm{0,2}P(1)=\mathrm{0,1}$

$\mathbf{\text{b)}}$ $\mathbf{\text{Herramienta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{usamos:}}$ el $\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{total}}$, $P(V)=P(V\mid U_1)P(U_1)+P(V\mid U_2)P(U_2)$. Lo aplicamos porque el color de la bola depende de qué urna se use, y la urna queda determinada por el resultado (par o impar) del dado: las urnas forman un sistema completo de sucesos (par e impar son incompatibles y cubren todos los casos), así que ponderamos la probabilidad de bola verde en cada urna por la probabilidad de elegir esa urna.

Según la asignación obtenida en el apartado a, las probabilidades de elegir cada una de las urnas son:

$P(U_1)=P(2)+P(4)=\mathrm{0,6}P(U_2)=P(1)+P(3)=\mathrm{0,4}$

Sea $V=$ "la bola extraída es de color verde". Aplicando la regla de Laplace dentro de cada urna, las probabilidades de obtener bola verde son:

$P(V\mid U_1)={\displaystyle \frac{2}{5}}P(V\mid U_2)={\displaystyle \frac{5}{5}}$

Utilizando el teorema de la probabilidad total:

$P(V)=P(V\mid U_1)P(U_1)+P(V\mid U_2)P(U_2)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot \mathrm{0,6}+{\displaystyle \frac{5}{5}}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,64}$